综合题

1.证明方程x5+x一1=0只有一个正根．

【正确答案】令f(x)=x5+x一1，则f(x)为连续函数．又f(0)=一1＜0，f(1)=1＞0，故f(x)=0在区间(0，1)至少有一个根，又f＇(x)=5x4+1＞0，所以f(x)在(0，+∞)内单调递增．因此，f(x)=0至多有一个正跟．综上，x5+x一1=0只有一个正根．

2.证明级数

【正确答案】证明：因为R==∞，所以xn的收敛域是(一∞，+∞)，即幂级数

【正确答案】(3x+2y)dσ=∫02dx∫02-x(3x+2y)dx=∫02[3x(2一x)+(2一x)2]dx =

29.求平行于y轴且经过两点(4，0，一2)，(5，l，7)的平面方程．

【正确答案】平行于y轴的平面方程可设为Ax+Cz+D=0，由已知该平面经过两点(4，0，一2) 和(5，1，7)，得

30.求微分方程y＂+4y=0的通解．

【正确答案】此微分方程的特征方程为r2+4=0，r=±2i，所以此微分方程的通解为 y=C1cos 2x+C2sin 2x．