综合题

1.证明f(x)=xex2∫02xe2dt在(一∞，+∞)上为偶函数．

【正确答案】证明：xex2在(一∞，+∞)上为奇函数，故只需证明∫02xet2dt在(一∞，+∞)上为奇函数即可，设F(x)=∫02xet2dt，则F(一x)=∫0-2xet2dt，对于F(一x)，令 t=－u，则u=－t，dt=－du，故F(－x)=∫0-2xet2dt=∫0-2xe(-u)2du=－∫02xeu2du =一∫02xet2dt=一F(x)，故F(x)=∫02xet2dt为奇函数，原命题成立．

2.如果f(x)在[2，4]上连续，在(2，4)上可导，f(2)=1，f(4)=4，求证： ξ∈(2，4)，使得f＇(ξ)=

【正确答案】证明：令F(x)=

【正确答案】因f(x)=(1+t)=[ln|1+t|]1x=ln(1+x)一ln2， 故f(x)一=ln(1+x)一ln2一[ln(1+)一ln2]=ln(1+x)－ln

21.求微分方程y＂一2y＇+y=0的通解．

【正确答案】原方程的特征方程为r2—2r+1=0，即(r一1)2=0，有两个相等实根 r1=r2=1，故原方程的通解为y=(C1+C2x)ex．