证明题

1.设a＞b＞0，n＞1，证明：nbn-1(a一b)＜an一bn＜nan-1(a一b)．

【正确答案】设f(x)=xn， 显然f(x)在闭区间[b，a]上连续，在开区间(b，a)内可导， 由拉格朗日中值定理得， 在(b，a)内至少存在一点ξ， 使得 f(a)一f(b)=f'(ξ)(a一b)， 即 an一bn=nξn-1(a一b)， 因为 bn-1＜ξn-1＜an-1， 所以 nbn-1(a-b)＜an一bn＜nan(a-b)．

2.求由曲线y=x2和

【正确答案】 V=∫01[π-π(x2)2]dx ……此处隐藏1520个字…… 2022/09-26/426a53af69281bad620acf041ae56f18.jpeg" width="25" />

【正确答案】

21.将函数f(x)=

【正确答案】

22.求微分方程y''一4y'+4y=(x+1)ex的通解．

【正确答案】对应齐次方程的特征方程为 r2—4r+4=0， 特征根为 r1=2，r2=2， 对应齐次方程的通解为 Y=(C1+C2x)e2x， 设原方程特解形式为 y*=(ax+b)ex， 代入原方程得 a=1，b=3， 得 原方程的一个特解为 y*=(x+3)ex， 故 原方程的通解为 y=(C1+C2x)e2x+(x+3)ex．